SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI

3.7 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke derajat, derajat ke radian

Contoh Soal 1
Nyatakan sudut 50° dan 89° ke dalam radian!

Penyelesian:
50° = 50° x π/180°
50° = 0,277π
50° = 0,277 (3,14)
50° = 0,87 radian

89° = 89° x π/180°
89° = 0,494π
89° = 0,494 (3,14)
89° = 1,55 radian

Contoh Soal 2
Nyatakan sudut 0,45 radian dan 0,89 radian ke dalam satuan derajat!

Penyelesaian:
0,45 radian = 0,45 x 180°/π
0,45 radian = 25,80°

0,89 radian = 0,89 x 180°/π
0,89 radian = 51,02°

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan Sudut istimewa (600 , 300 , 450 )

Contoh:

Pada gambar di samping segitiga siku-siku ABC dengan panjang a= 8 dan c= 10.

Tentukan keenam perbandingan trigonometri untuk a .

Penyelesaian:

Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku di dalam koordinat kartesius

Contoh 1

Besar sudut 72∘72∘ sama dengan…rad

. 15π15π                   C. 23π23π                  E. 56π56π               
B. 25π25π                   D. 34π34π                           

Pembahasan

Ingat bahwa 1∘=π180 rad1∘=π180 rad
Dengan demikian,
72∘=722×π1805 rad=25π rad72∘=722×π1805 rad=25π rad
Jadi, besar sudut 72∘72∘ sama dengan 25π rad25π rad
(Jawaban B)

Contoh 2

Diketahui koordinat titik A(−2√2,−2√2)A(−22,−22). Koordinat kutub dari titik AA adalah

A. (4,210∘)(4,210∘)                 D. (5,240∘)(5,240∘)
B. (2,240∘)(2,240∘)                 E. (4,225∘)(4,225∘)
C. (2,225∘)(2,225∘)

Pembahasan

Diketahui: x=y=−2√2x=y=−22
Koordinat kutubnya berbentuk (r,θ)(r,θ), dengan
r=√x2+y2=√(−2√2)2+(−2√2)2=√8+8=4r=x2+y2=(−22)2+(−22)2=8+8=4
dan
tanθ=yx=−2√2−2√2=1⇒θ=45∘∨225∘tan⁡θ=yx=−22−22=1⇒θ=45∘∨225∘
Karena titik AA berada di kuadran III (nilai xx dan yy negatif), maka θ=225∘θ=225∘.
Jadi, koordinat kutub dari A(−2√2,−2√2)A(−22,−22) adalah (4,225∘)(4,225∘)
(Jawaban E)

3.7 Menyelesaikan komposisi operasi (+, -, :, dan •) nilai trigonometri

Nilai dari cos 60° cos 30° - sin 60° sin 30° adalah

Jawab :

Cos 60 cos 30 - sin 60 sin 30
= ½.½√3 - ½√3.½
= ¼√3 - ¼√3
= 0

3.7 Menyelesaikan nilai trigonometri pada suatu sudut segitiga siku-siku pada koordinat cartesius

Nilai dari tan 30° adalah

Jawab: 

Diketahui sudut 30° berada pada kuadran I.

sin 30° = 

cos 30°= 

tan 30° = 
⇔ tan 30° = 
⇔ tan 30° = 
⇔ tan 30° = 

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut berelasi (kuadrat: I, II, III, IV), sudut negatif, dan sudut > 3600

Jika sin 30° =½ maka cos 300°=

Jawab : 

cos 300°
= cos (360° - 60°)
= cos 60°
= cos (90° - 30°)
= sin 30°
= 1/2

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut berelasi (kuadrat: I, II, III, IV), sudut negatif, dan sudut > 360⁰

sin 50°

tan 40°

cos 35°

Jawab :

sin 50° = sin (90° − 400°)

= cos 40°

tan 40° = tan (90° − 50°)

= cot 50°

cos 35° = cos (90° − 55°)

= sin 55°

Ketiganya bernilai positif, karena sudut 50°, 40° dan 35° berada di kuadran 

3.8 Menyelesaikan koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinata kutub

Jika titik P(4,45°) dinyatakan dengan sistem koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah

Jawab:

x = r . cos a
x = 4 . cos 45°
x = 4 . 1/2 √2
x = 2 √2

y = r . sin a
y = 4 . sin 45°
y = 4 . 1/2 √2
y = 2 √2

(2√2, 2√2)

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

Jika sin a = 1/2 , a di kuadran II , maka nilai dari tan a

Jawab :

3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri

Buktikan bahwa persamaan identitas trigonometri di bawah adalah benar!

  

Bukti:

  

  

  

  

  

3.8 Menyelesaikan soal cerita perbandingan trigonometri

Seekor kelinci yang berada di lubang tanah tempat persembunyiannya melihat seekor elang yang sedang terbang dengan sudut ${60}^{\circ }$ (lihat gambar). Jika jarak antara kelinci dan elang adalah $18$ meter, maka tinggi elang dari atas tanah adalah $\cdots \cdot$ meter.

Jika dilihat dari gambar, sisi depan sudut ${60}^{\circ }$ ditanyakan panjangnya dan sisi miring segitiga (hipotenusa) diketahui panjangnya. Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah sinus, yakni
$\begin{array}{cc}\sin {60}^{\circ }& =\frac{x}{18}\\ \frac{1}{2}\sqrt{3}& =\frac{x}{18}\\ x& =18\times \frac{1}{2}\sqrt{3}=9\sqrt{3}\end{array}$
Jadi, tinggi elang dari atas tanah adalah $9\sqrt{3}$ meter.

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sudut

Diketahui perbandingan sisi-sisi segitiga ABC adalah 2:3:4. Nilai kosinus sudut terbesar adalah

Jawab : 

Sisi ABC , AB = 2x , BC = 3x , AC = 4x

Sudut terbesar didepan sisi terpanjang ,

sisi terpanjang  = AC

sudut terbesar = < B

cos B = (AB² + BC² - AC²) / (2)(AB)(BC)

cos B = (2x)²+(3x)² -(4x)² /  2(2x)(3x)

cos B = (4+9 -16) x²/ (12) x²

cos B = (-3)/(12)

cos B = - 1/4

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi

Soal aturan cosinus

Diketahui:

a = 5 cm

c = 6 cm

B = 60º

Ditanya: b?

Jawab:

 b² = a² + c² - 2ac cos B

 b² = 5² + 6² - 2(5)(6) cos 60º

 b² = 25 + 36 - 60 (0,5)

 b² = 61 - 30

 b² = 31

 b = 5,56 cm

Jadi, panjang sisi b adalah 5,56 cm

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui a = 12 cm, b = 10 cm, dan sudut C = 30°!

Diketahui:

a = 12 cm

b = 10 cm

<C = 30°

Ditanya:

L ∆ABC

Penyelesaian:

Karena diketahui panjang kedua sisi dan besar salah satu sudut, maka digunakan rumus sebagai berikut.

L ∆ABC = ½ · a · b · sin C

= ½ · 12 · 10 · sin 30°

= 6 · 10 · ½

= 30 cm²

Jadi luas segitiga tersebut adalah 30 cm².

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi

pada segitiga PQR,sudut QPR=120°,PQ=12 dan PR=10. Dengan demikian panjang QR sama dengan

Jawab : 

Aturan Cosinus
QR² = PQ² + PR² - 2.PQ.PR.cos∠QPR
QR² = 12² + 10² - 2.12.10.cos 120°
QR² = 12² + 10² - 2.12.10.(-0,5)
QR² = 144 + 100 - (-120)
QR² = 144 + 100 + 120
QR² = 364
QR = √364
QR = 2√91

3.10 Menyelesaikan Range nilai fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Soal

f(x) = sec x => f^1 (x) = …

jawab:

f(x) = sec x = 1/cos x

Dengan:
g(x) = 1, didapat g'(x) = 0
h(x) = cos x, didapat h'(x) = -sin x

Menyebabkan:
Fx=sec x = 1/sin x ... fx=u/v .... f' x = (u'v- uv')/v2

= ( 0 - cos x) /(sin² x)  = - cosx/sinx = -cot x

fx= cot x = cos x/sin x ... f'x= (-sinx . sin x - cox . cos x)/sin²x

f' x= (-1)/sin²x =  - sec²x

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

1. Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc

jawab : 

L = ½.ab.ac.Sin a
L = ½.6.8.Sin 150°
L = 12 cm²

2. Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut yaitu 30o dan 37o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut yaitu 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :
Dik : B = 30o, C = 37o, a = 8 cm
Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ A = 180o - (B + C)
⇒ A = 180o - (30o + 37o)
⇒ A = 180o - 67o
⇒ A = 113o

Berdasarkan rumus di atas :

⇒ L =	a2 sin B sin C
	2 sin A

⇒ L =	82 sin 30o sin 37o
	2 sin 113o

⇒ L =	64 (0,5) (0,6)
	2 (0,92)

⇒ L =	19,2
	1,84

⇒ L = 10,42 cm

Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 10,42 cm.

3. Pada segitiga ABC diketahui AB = 4 cm, AC = 6 cm dan BC = 8 cm. maka luas segitiga ABC adalah

Jawab: 

K = 4+6+8 = 18 cm

s = K/2 = 18/2 = 9 cm

Luas segitiga
= √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC))
= √(9(9-4)(9-6)(9-8))
= √(9.5.3.1)
= √135 = 3√15 cm²

3.10 Menyelesaikan gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Grafik di atas adalah grafik fungsi $\cdots \cdot$

Grafik di atas merupakan modifikasi grafik cosinus (karena tidak dimulai dari garis normal di sumbu-$X$) dengan bentuk umum $f\left(x\right)=a\cos kx$.
Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya $\frac{1}{2}$, sedangkan nilai minimumnya $-\frac{1}{2}$, sehingga
$\begin{array}{cc}a& =\frac{\text{N. Maksimum}-\text{N. Minimum}}{2}\\ & =\frac{\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$
Saat $x=0^{\circ }$, nilai fungsinya $\frac{1}{2}$, lalu berulang kembali di $x=\pi$, sehingga periodenya $\pi$. Dengan demikian, $k=\frac{2\pi }{\text{Periode}}=\frac{2\pi }{\pi }=2$.
Jadi, grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos 2x$

3.7 Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi

1. Budi melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Budi dan menara yang dilihatnya adalah 150 m dan tinggi Budi adalah 120 cm maka tinggi menara tersebut adalah …

Jawab

tan 30⁰ = 

x =   . 150  

x = 50√3  

Jadi tinggi menara adalah

= x + tinggi Budi

= 50√3 m + 120 cm

= 50√3 m + 1,2 m

= (50√3 + 1,2) m

2. Seorang anak dengan tinggi 160 cm berdiri pada jarak 12 m dari kaki tiang bendera. Jika sudut depresi dari puncak tiang terhadap anak adalah 45° maka tinggi tiang bendera itu adalah …

Jawab

tan 45⁰ = 

1 = 

x = 12  

Jadi tinggi tiang bendera adalah

= x + tinggi anak

= 12 m + 160 cm

= 12 m + 1,6 m

= 13,6 m

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

1. Nilai maksimum dari fungsi y = 4 sin x cos x adalah...

Jawab :

Nilai maksimum dari fungsi y = 4 sin x cos x adalah 2. Nilai dari sin ax dan cos ax adalah –1 ≤ sin ax ≤ 1 dan –1 ≤ cos ax ≤ 1, sehingga:

Nilai maksimum dari sin ax dan cos ax adalah 1

Nilai minimum dari sin ax dan cos ax adalah –1  

dengan a adalah bilangan real

Rumus sudut rangkap pada trigonometri

sin 2A = 2 sin A cos A

cos 2A = cos² A – sin² A

cos 2A = 2 cos² A – 1

cos 2A = 1 – 2 sin² A

tan 2A = 

y = 4 sin x cos x

y = 2 . 2 sin x cos x

y = 2 . sin 2x

y = 2 sin 2x

karena nilai dari sin 2x adalah –1 ≤ sin 2x ≤ 1, maka y = 2 sin 2x akan bernilai maksimum jika sin 2x = 1

sehingga nilai maksimum dari y = 4 sin x cos x adalah

y = 2 sin 2x

y = 2 (1)

y = 2

2. Nilai minimum dari fungsi y = √3 cos x - sin x adalah...

Jawab : 

Nilai Maksimum minimum fungsi trigonometri

y = √3 cos x - sin x  ubah  bentu ke y = k  cos ( x -  a)
a= √3
b = - 1
k = √(a²+b²)
k = √(3 +1)= +_2
Nilai minimum nya = -2

$<span\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; initial;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;"><br></span>$