PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

Pengertian Turunan

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam Geometri dan Mekanika.

Konsep turunan fungsi secara universal banyak sekali digunakan dalam bidang ekonomi untuk menghitung biaya marjinal, biaya total atau total penerimaan, dalam bidang biologi  untuk menghitung laju pertumbuhan organisme, dalam bidang fisika untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang kimia untuk menghitung laju pemisahan, dalam bidang geografi dan sosiologi untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.

Sir Isaac Newton(1642 - 1727), salah satu ahli yang mencetuskan penggunaan turunan pada bidang matematika.

Sifat Turunan

1. Jika $f(x)=c$ dimana $c$ adalah konstanta, maka turunannya adalah$f'(x)=0$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=2 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=13 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=100 &\rightarrow f'(x)=0 \end{aligned}$

2. Jika $f(x)=cx$, maka turunannya adalah$f'(x)=c$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=2x &\rightarrow &f'(x)=2\\ f(x)&=13x &\rightarrow &f'(x)=13\\ f(x)&=100x &\rightarrow &f'(x)=100 \end{aligned}$

3. Jika $f(x)=x^n$ maka turunannya adalah$f'(x)=nx^{n-1}$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=x^4 &\rightarrow &f'(x)=4x^3\\ f(x)&=x^3 &\rightarrow &f'(x)=3x^2\\ f(x)&=x^2 &\rightarrow &f'(x)=2x \end{aligned}$

4. Jika $f(x)=cx^n$maka turunannya adalah$f'(x)=cnx^{n-1}$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=2x^4 &\rightarrow &f'(x)=8x^3\\ f(x)&=13x^3 &\rightarrow &f'(x)=39x^2\\ f(x)&=100x^2 &\rightarrow &f'(x)=200x \end{aligned}$

5. Jika $f(x)=c\,u(x)$ maka turunannya adalah$f'(x)=c\,u'(x)$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=4\ln{x}&\rightarrow &f'(x)=4\frac{1}{x}\\ f(x)&=3\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=3\sin{x}\\ f(x)&=2\sin{x}&\rightarrow &f'(x)=-2\cos{x} \end{aligned}$

6. Jika $f(x)=u(x)\pm v(x)$ maka turunannya adalah$f'(x)=u'(x)\pm v'(x)$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=2x+x^2&\rightarrow &f'(x)=2+2x\\ f(x)&=x^4-x^3&\rightarrow &f'(x)=4x^3-3x^2\\ f(x)&=\sin{x}+\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=\cos{x}-\sin{x} \end{aligned}$

7. Jika $f(x)=u(x)v(x)$ maka turunannya adalah$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

Contoh:$f(x)=x^4x^3$Misalkan $u(x)=x^4$ dan $v(x)=x^3,$ maka $u'(x)=4x^3$ dan $v'(x)=3x^2,$ sehingga$\begin{aligned} f'(x)&=(4x^3)(x^3)+(x^4)(3x^2)\\ &=4x^6+3x^6\\ &=7x^6 \end{aligned}$

8. Jika $f(x)=\displaystyle\frac{u(x)}{v(x)}$ maka turunannya adalah$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

Contoh:$f(x)=\frac{x^4}{x^3}$Misalkan $u(x)=x^4$ dan $v(x)=x^3,$ maka $u'(x)=4x^3$ dan $v'(x)=3x^2,$ sehingga$\begin{aligned} f'(x)&=\frac{(4x^3)(x^3)-(x^4)(3x^2)}{(x^3)^2}\\ &=\frac{4x^6-3x^6}{x^6}\\ &=1 \end{aligned}$

9. Jika $f(x)={u(x)}^n$ maka turunannya adalah$f'(x)=n(u(x))^{n-1}u'(x)$

Contoh:$f(x)=(2x+x^2)^4$Misalkan $u(x)=2x+x^2,$ sehingga $u'(x)=2+2x,$ maka$f'(x)=4\left(2x+x^2\right)^3(2+2x)$

Sifat-sifat Turunan Logaritma Natural

$\begin{aligned} f(x)&={^c}\log{x}&\rightarrow &f'(x)=\frac{1}{x}.{^c}\log e\\ f(x)&={^c}\log{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.{^c}\log e \end{aligned}$dimana $e$ adalah bilangan euler yang nilainya adalah $e=2\text{,}7182818.$

Sifat-sifat Turunan Logaritma

$\begin{aligned} f(x)&=\sin{x}&\rightarrow&f'(x)=\cos{x}\\ f(x)&=\cos{x}&\rightarrow&f'(x)=-\sin{x}\\ f(x)&=\tan{x}&\rightarrow&f'(x)=\sec^2{x}\\ f(x)&=\cot{x}&\rightarrow&f'(x)=-\csc^2{x}\\ f(x)&=\sec{x}&\rightarrow&f'(x)=\sec{x}.\tan{x}\\ f(x)&=\csc{x}&\rightarrow&f'(x)=-\csc{x}.\cot{x} \end{aligned}$Perluasan Turunan Fungsi Trigonometri$\begin{aligned} f(x)&=\sin{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\cos{g(x)}\\ f(x)&=\cos{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\sin{g(x)}\\ f(x)&=\tan{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\sec^2{g(x)}\\ f(x)&=\cot{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\csc^2{g(x)}\\ f(x)&=\sec{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\sec{g(x)}.\tan{g(x)}\\ f(x)&=\csc{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\csc{g(x)}.\cot{g(x)} \end{aligned}$

Contoh Soal

Soal Nomor 1
Apabila $f\left(x\right)=x^2-\frac{1}{x}+1$, maka $f^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
A. $x-x^{-2}$
B. $x+x^{-2}$
C. $2x+x^{-2}+1$
D. $2x-x^{-2}+1$
E. $2x+x^{-2}$

Pembahasan

Gunakan aturan turunan dasar.
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x^2-\frac{1}{x}+1\\ & =x^2-x^{-1}+1\\ f^{\prime }\left(x\right)& =2x^{2-1}-(-1)x^{-1-1}+0\\ & =2x+x^{-2}\end{array}$
Jadi, hasil dari $f^{\prime }\left(x\right)=2x+x^{-2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $g\left(x\right)=\frac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}$, maka $g^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
A. $-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}$
B. $-x^3+3x^2+\frac{1}{2}\sqrt{2x}$
C. $\frac{1}{x^2}+x^2-2$
D. $\frac{1}{x^2}+3x^2-2$
E. $\frac{1}{x^2}+3x^2+\frac{1}{2}\sqrt{2x}$

Pembahasan

Gunakan aturan turunan dasar.
$\begin{array}{cccc}g\left(x\right)& =\frac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}& & \\ & =x^{-1}+x^3-\sqrt{2}{x}^{1/2}& & \\ g^{\prime }\left(x\right)& =-1x^{-1-1}+3x^{3-1}-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}{x}^{1/2-1}& & \\ & =-x^{-2}+3x^2-\frac{1}{2}\sqrt{2}{x}^{-1/2}& & \\ & =-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}}& & \\ & =-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}& & \ast \end{array}$
Catatan: $\ast \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Jadi, hasil dari $g^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika $R\left(t\right)=t\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}}$, maka $\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\frac{3}{2}\sqrt{t}+\frac{3}{2\sqrt{t}}$
B. $\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2\sqrt{t}}$
C. $\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$
D. $\frac{2}{3}\sqrt{t}-\frac{1}{t^2\sqrt{t}}$
E. $\frac{3}{2}\sqrt{t}+\frac{1}{t^2\sqrt{t}}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{array}{cc}R\left(t\right)& =t\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}}=t\cdot t^{1/2}+\frac{1}{t\cdot t^{1/2}}\\ & =t^{3/2}+t^{-3/2}\end{array}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}& =\frac{3}{2}{t}^{3/2-1}-\frac{3}{2}{t}^{-3/2-1}\\ & =\frac{3}{2}{t}^{1/2}-\frac{3}{2}{t}^{-5/2}\\ & \\ & =\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}\end{array}$
Jadi, hasil dari $\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}=\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Turunan pertama dari $f\left(x\right)=\frac{4}{x-3}-\frac{6}{x}$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)$. Nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                 C. $4$                 E. $10$
B. $2$                    D. $5$

Pembahasan

Gunakan aturan turunan dasar untuk mencari turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)$.
$$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =\frac{4}{x-3}-\frac{6}{x}\\ & =4(\underset{u}{\underset{}{x-3}}{)}^{-1}-6x^{-1}\\ f^{\prime }\left(x\right)& =4(-1)(x-3{)}^{-2}\cdot \underset{u^{\prime }}{\underset{}{1}}-6(-1)x^{-2}\\ & =-\frac{4}{(x-3{)}^2}+\frac{6}{x^2}\end{array}$$Substitusi $x=1$ dan kita akan peroleh
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(1\right)& =-\frac{4}{(\left(1\right)-3{)}^2}+\frac{6}{{\left(1\right)}^2}\\ & =-\frac{4}{4}+\frac{6}{1}\\ & =-1+6=5\end{array}$
Jadi, nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)=5$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Turunan pertama dari $H\left(x\right)=x^{2/3}(4x-5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}+\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
B. $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
C. $\frac{10\sqrt[3]{3x}}{3}-\frac{20}{3\sqrt[3]{3x}}$
D. $\frac{-20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
E. $\frac{4x-5}{3\sqrt[3]{3x}}-\frac{4}{\sqrt[3]{3x}}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{array}{cc}H\left(x\right)& =x^{2/3}(4x-5)\\ & =4x^{2/3}\cdot x-5x^{2/3}\\ & =4x^{5/3}-5x^{2/3}\end{array}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}{H}^{\prime }\left(x\right)& =4\cdot \frac{5}{3}\cdot x^{5/3-1}-5\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{2/3-1}\\ & =\frac{20}{3}{x}^{2/3}-\frac{10}{3}{x}^{-1/3}\\ & =\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}\end{array}$
Jadi, turunan pertama dari $H\left(x\right)$ adalah $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diberikan $f\left(r\right)=2r^{\frac{3}{2}}-2r^{\frac{1}{2}}$. Nilai $f^{\prime }\left(1\right)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                    E. $5$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan

Diketahui $f\left(r\right)=2r^{\frac{3}{2}}-2r^{\frac{1}{2}}$.
Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama fungsi $f\left(r\right)$ adalah
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(r\right)& =2\cdot \frac{3}{2}{r}^{\frac{3}{2}-1}-2\cdot \frac{1}{2}{r}^{\frac{1}{2}-1}\\ & =3r^{\frac{1}{2}}-r^{-\frac{1}{2}}\\ & =3\sqrt{r}-\frac{1}{r}\end{array}$
Untuk $r=1$, didapat
$f^{\prime }\left(1\right)=3\sqrt{1}-\frac{1}{1}=3-1=2$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x-6$. Nilai $x$ yang membuat $y^{\prime }=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$ atau $1$                D. $1$ atau $2$
B. $-1$ atau $0$                E. $1$ atau $3$
C. $0$ atau $2$

Pembahasan

Diketahui $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x-6$.
Turunan pertama dari $y$ adalah
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\frac{1}{3}\left(3\right)x^2-\frac{3}{2}\left(2\right)x+2-0\\ & =x^2-3x+2\end{array}$
Misalkan $y^{\prime }=0$, maka kita peroleh
$\begin{array}{cc}{x}^2-3x+2& =0\\ (x-2)(x-1)& =0\\ x=2\text{atau}& x=1\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang membuat $y^{\prime }=0$ adalah $1$ atau $2$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8

Jika $f\left(m\right)=4+\sqrt[4]{4m^3}+3\sqrt[3]{3m^2}$, maka nilai $f^{\prime }\left(1\right)=\cdots \cdot$
A. $\frac{11}{4}$                 C. $\frac{7}{4}$                  E. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{9}{4}$                   D. $\frac{5}{4}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{array}{cc}f\left(m\right)& =4+\sqrt[4]{4m^3}+3\sqrt[3]{3m^2}\\ & =4+m^{3/4}+3m^{2/3}\end{array}$
Turunan pertama dari $f\left(m\right)$ adalah
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(m\right)& =0+\frac{3}{4}{m}^{3/4-1}+3\cdot \frac{2}{3}{m}^{2/3-1}\\ & =\frac{3}{4}{m}^{-1/4}+2m^{-1/3}\\ & =\frac{3}{4\sqrt[4]{4m}}+\frac{2}{\sqrt[3]{3m}}\end{array}$
Untuk $m=1$, diperoleh
$f^{\prime }\left(1\right)=\frac{3}{4\sqrt[4]{41}}+\frac{2}{\sqrt[3]{31}}=\frac{3}{4}+2=\frac{11}{4}$
Jadi, nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)=\frac{11}{4}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika turunan pertama dari $y=(x^2+1)(x^3-1)$ adalah $y^{\prime }=a{x}^4+b{x}^2+cx$ dengan $a,b,c\in Z$, maka nilai dari $abc=\cdots \cdot$
A. $-60$                   C. $0$                    E. $60$
B. $-30$                   D. $30$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{array}{cc}y& =(x^2+1)(x^3-1)\\ & =x^5-x^2+x^3-1\end{array}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =5x^{5-1}-2x^{2-1}+3x^{3-1}-0\\ & =5x^4-2x+3x^2\\ & =5x^4+3x^2-2x\end{array}$
Karena itu, kita peroleh $a=5$, $b=3$, dan $c=-2$.
Catatan: $Z$ menyatakan simbol untuk himpunan bilangan bulat.
Jadi, $abc=5\left(3\right)(-2)=-30$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Turunan pertama dari $f\left(x\right)=x^2(3x-1{)}^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x(15x+2)(3x-1{)}^2$
B. $x(15x-2)(3x-1{)}^2$
C. $x(9x+2)(3x-1{)}^2$
D. $x(18x+2)(3x-1{)}^2$
E. $x(18x-2)(3x-1{)}^2$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=x^2(3x-1{)}^3$.
Gunakan aturan turunan dasar (terutama aturan hasil kali) dan aturan rantai.
Misalkan
$$\begin{array}{cc}u& =x^2⟹u^{\prime }=2x\\ v& =(\underset{p}{\underset{}{3x-1}}{)}^3⟹v^{\prime }=3(3x-1{)}^2\left(\underset{p^{\prime }}{\underset{}{3}}\right)=9(3x-1{)}^2\end{array}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(x\right)& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =\left(2x\right)(3x-1{)}^3+(x^2\left)\right(9(3x-1{)}^2)\\ & =(3x-1{)}^2(2x(3x-1)+9x^2)\\ & =(3x-1{)}^2(6x^2-2x+9x^2)\\ & =(3x-1{)}^2(15x^2-2x)\\ & =x(15x-2)(3x-1{)}^2\end{array}$
Jadi, turunan pertama dari $f\left(x\right)$ adalah $x(15x-2)(3x-1{)}^2$
(Jawaban B)

[collapse]