SOAL TRIGONOMETRI REMEDIAL PAT

-
KELAS X IPS 3 

SOAL LATIHAN + PEMBAHASAN 

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI 

1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, -3, 2), dan R (-1, 0, 2). Besar sudut PQR adalah ….

  \[ \textrm{A.} \; \; \; 120^{o} \]

  \[ \textrm{B.} \; \; \; 90^{o} \]

  \[ \textrm{C.} \; \; \; 60^{o} \]

  \[ \textrm{D.} \; \; \; 45^{o} \]

  \[ \textrm{E.} \; \; \; 30^{o} \]

Pembahasan:

Segitiga PQR pada soal dapat diilustrasikan seperti berikut.

Contoh Soal Perbandingan Trigonometri

Mencari panjang RQ:

  \[ \overrightarrow{RQ} = (2-(-1), -3-0, 2-2)=(3,-3,0) \]

  \[ |RQ|= \sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+0^{2}} =\sqrt{9+9+0}= \sqrt{18} \]

 

Mencari panjang RP:

  \[ \overrightarrow{RP} = (0-(-1), 1-0, 4-2)=(1,1,2) \]

  \[ |RQ|= \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}} =\sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \]

Mencari besar sudut R:

  \[ \overrightarrow{RQ} \cdot \overrightarrow{RP} = |RP| \cdot |RQ| \cdot Cos \; R \]

  \[ (3,-3,0)(1,1,2) = \sqrt{18} \cdot \sqrt{6} \cdot Cos \; R \]

  \[ 3 - 3 + 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R \]

  \[ 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R \]

  \[ Cos \; R = \frac{\sqrt{108}}{0} \]

  \[ Cos \; R = 0 \rightarrow R = 90^{o} \]

Jadi, besar sudut R adalah 90o.

Jawaban: B 

2. Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1), B(5, 2), dan C(1, 5). Besar sudut BAC adalah ….

  \[ \textrm{A.} \; \; \; 45^{o} \]

  \[ \textrm{B.} \; \; \; 60^{o} \]

  \[ \textrm{C.} \; \; \; 90^{o} \]

  \[ \textrm{D.} \; \; \; 120^{o} \]

  \[ \textrm{E.} \; \; \; 135^{o} \]

Pembahasan:

Gambar segitiga ABC yang sesuai pada soal adalah

Soal UN Trigonometri

Mencari panjang AC:

  \[ \overrightarrow{AC} = (1-3, 5-1)=(-2,4) \]

  \[ |RQ|= \sqrt{(-2)^{2} + 4^{2}} =\sqrt{ 4 + 4 }= \sqrt{8} \]

 

Mencari panjang AB:

  \[ \overrightarrow{AB} = (5 - 3, 2 - 1) = (2, 1) \]

  \[ |RQ|= \sqrt{2^{2} + 1^{2}} =\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]

Mencari besar sudut A:

  \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = |AC| \cdot |AB| \cdot Cos \; A \]

  \[ (-2,4) \cdot (2, 1) = \sqrt{8} \cdot \sqrt{5} \cdot Cos \; A \]

  \[ -4 + 4 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A \]

  \[ 0 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A \]

  \[ Cos \; A = \frac{\sqrt{40}}{0} \]

  \[ Cos \; A = 0 \rightarrow A = 90^{o} \]

Jadi, besar sudut A adalah 90o.

Jawaban: C

3. Diketahui titik P(3, – 1, 2 ), B(1, -2, – 1), dan C(0, 1, 1) membentuk sudut PBC adalah ….

  \[ \textrm{A.} \; \; \; 30^{o} \]

  \[ \textrm{B.} \; \; \; 45^{o} \]

  \[ \textrm{C.} \; \; \; 60^{o} \]

  \[ \textrm{D.} \; \; \; 90^{o} \]

  \[ \textrm{E.} \; \; \; 120^{o} \]

Pembahasan:

Perhatikan gambar sesuai soal di bawah!

Contoh Soal UN Trigonometri

Mencari panjang BP:

  \[ \overrightarrow{BP} = (3 - 1, -1 - (-2), 2 - (-1))=(2, 1, 3) \]

  \[ |BP|= \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}} =\sqrt{4+1+9}= \sqrt{14} \]

 

Mencari panjang BC:

  \[ \overrightarrow{BC} = (0 - 1, 1 - (-2), 1- (-1))=(-1, 3, 2) \]

  \[ |BC|= \sqrt{(-1)^{2} + 3^{2} + 2^{2}} =\sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \]

Mencari besar sudut B:

  \[ \overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BC} = |BP| \cdot |BC| \cdot Cos \; B \]

  \[ (2, 1, 3) \cdot (-1, 3, 2) = \sqrt{14} \cdot \sqrt{14} \cdot Cos \; B \]

  \[ -2 + 3 + 6 = 14 \cdot Cos \; B \]

  \[ 7 = 14 \cdot Cos \; B \]

  \[ Cos \; B = \frac{7}{14} \]

  \[ Cos \; B = \frac{1}{2} \rightarrow B = 60^{o} \]

Jadi, besar sudut B adalah 60o.

Jawaban: C

3. 

SUDUT BERELASI 

1. Nyatakan setiap perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 37° !

tan 143°
sin 233°
cos 323°
Jawab :
Sudut 143° terletak pada kuadran II, sehingga tan 143° bernilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
tan 143° = -tan 37°

Sudut 233° terletak pada kuadran III, sehingga sinus bernilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
tan 233° = -cos 37°
Perhatikan bahwa sin berubah menjadi cos karena relasi yang digunakan (270° −  α)

Sudut 323° terletak pada kuadran IV, sehingga cosinus bernilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
cos 323° = cos 37°

2. Diketahui cot (x + 36°) = tan 2x. Jika 2x adalah sudut lancip, tentukan nilai x !
Jawab :
cot (x + 36°) = tan 2x
Karena 2x sudut lancip, pastilah 2x terletak dikuadran I. Dengan menggunakan relasi sudut kuadran I, maka :
tan 2x = cot (90° − 2x)

Sehingga
cot (x + 36°) = cot (90° − 2x)
x + 36 = 90° − 2x
3x = 54
x = 18

3. Tentukan nilai dari setiap perbandingan trigonometri berikut !

a.  cos 135°
Jawab :
Sudut 135° terletak di kuadran II, sehingga cosinus bernilai negatif.
cos 135° = cos (180 − 45°)
cos 135° = -cos 45°
cos 135° = -12√2
b.  tan 120°
Jawab :
Sudut 120° terletak di kuadran II, sehingga tangen bernilai negatif.
tan 120° = tan (180 − 60°)
tan 120° = -tan 60°
tan 120° = -√3

c.  sin 210°
Jawab :
Sudut 210° terletak di kuadran III, sehingga sinus bernilai negatif.
sin 210° = sin (180° + 30°)
sin 210° = -sin 30°
sin 210° = -12

d.  tan 225°
Jawab :
Sudut 225° terletak di kuadran III, sehingga tangen bernilai positif.
tan 225° = tan (180° + 45°)
tan 225° = tan 45°
tan 225° = 1
4. Diketahui cot (x + 36°) = tan 2x. Jika 2x adalah sudut lancip, tentukan nilai x !
Pembahasan :
cot (x + 36°) = tan 2x
Karena 2x sudut lancip, pastilah 2x terletak dikuadran I. Dengan menggunakan relasi sudut kuadran I, maka :
tan 2x = cot (90° − 2x)

Sehingga
cot (x + 36°) = cot (90° − 2x)
x + 36 = 90° − 2x
3x = 54
x = 18
5. Perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 30°
tan 40°
cos 53°

Pembahasan :
sin 30° = sin (90° − 70°)
= cos 70°
tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°
cos 53° = cos (90° − 37°)
= sin 37°
ATURAN SINUS DAN COSINUS 
1. Diketahui segitiga ABC dengan besar sudut A adalah 60o, sudut B adalah 45o, dan panjang sisi AC sama dengan 10 cm. Panjang BC pada segitiga ABC tersebut adalah ….

  \[ \textrm{A.} \; \; \; 8 \sqrt{3} \]

  \[ \textrm{B.} \; \; \; 6 \sqrt{6} \]

  \[ \textrm{C.} \; \; \; 6 \sqrt{5} \]

  \[ \textrm{D.} \; \; \; 5 \sqrt{6} \]

  \[ \textrm{E.} \; \; \; 5 \sqrt{3} \]

Untuk mencari panjang BC dapat menggunakan rumus aturan sinus.

Panjang BC adalah:

  \[ \frac{AC}{Sin \; B} = \frac{BC}{Sin \; A} \]

  \[ \frac{10}{Sin \; 45} = \frac{BC}{Sin \; 60} \]

  \[ \frac{10}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} = \frac{BC}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} \]

  \[ \frac{1}{2} \sqrt{2} \times BC = 10 \times \frac{1}{2} \sqrt{3} \]

  \[ BC = \frac{ 10 \times \frac{1}{2} \sqrt{3}}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} \]

  \[ BC = \frac{ 10 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \; \textrm{cm} \]

Dari hasil di atas sudah diperoleh panjang BC, namun untuk mendapatkan nilai yang paling sederhana perlu langkan mengalikan dengan akar rasional, seperti terlihat pada langkah berikut.

  \[ BC = \frac{ 10 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{ \sqrt{2} }{\sqrt{2}} \]

  \[ BC = \frac{ 10 \sqrt{6}}{2} = 5 \sqrt{6} \; \textrm{cm} \]

Jawaban: D

2. Diberikan segi empat ABCD seperti pada gambar di bawah!

Contoh soal aturan sinus dan aturan cosinus

Panjang BC adalah ….

  \[ \textrm{A.} \; \; \; 4 \sqrt{2} \; \textrm{cm} \]

  \[ \textrm{B.} \; \; \; 6 \sqrt{2} \; \textrm{cm} \]

  \[ \textrm{C.} \; \; \; 7 \sqrt{3} \; \textrm{cm} \]

  \[ \textrm{D.} \; \; \; 5 \sqrt{6} \; \textrm{cm} \]

  \[ \textrm{E.} \; \; \; 7 \sqrt{6} \; \textrm{cm} \]

Pembahasan:

Mencari panjang AC dengan aturan sinus:

  \[ \frac{AC}{Sin \; D} = \frac{AD}{Sin \; C} \]

  \[ \frac{AC}{Sin \; 30^{o}} = \frac{10}{Sin \; 45^{o}} \]

  \[ \frac{AC}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} \]

  \[ AC = \frac{10 \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} \]

  \[ AC = \frac{10}{\sqrt{2}} \]

  \[ AC = \frac{10}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]

  \[ AC = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \]

Mencari panjang BC dengan aturan cosinus:

  \[ BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot Sin \; A \]

  \[ BC^{2} = (5 \sqrt{2})^{2} + (10 \sqrt{2})^{2} - 2 \cdot (5 \sqrt{2}) \cdot (10 \sqrt{2}) \cdot Cos \; 60^{o} \]

  \[ BC^{2} = 50 + 200 - 200 \cdot \frac{1}{2} \]

  \[ BC^{2} = 250 - 100 \]

  \[ BC^{2} = 150 \]

  \[ BC = \sqrt{150} \]

  \[ BC = \sqrt{25 \times 6} \]

  \[ BC = 5 \sqrt{6} \; \textrm{cm} \]

Jawaban: D

3. Diketahui segitiga PQR siku – siku di Q dengan <P = 300 dan panjang  sisi PQ = 4 cm , hitunglah panjang PR  ?

soal aturan sin cos tan no 12
Pembahasan : 
soal aturan sin cos tan no 11-1
4. Diketahui bahwa segitiga ABC memiliki sudut A=60 0 dan sudut B=300 dengan garis AB = 140 dan AC = 80, berapa panjang garis CB ?

Pembahasan : 

soal aturan sin cos tan no 9
5. Diketahui segitiga ABC dengan ∠A = 45°, ∠B = 30° dan panjang AC  = 6. Tentukan panjang BC !

Pembahasan :



BCsin45∘=6sin30∘

BC = 6×sin45∘sin30∘
BC = 6×12212
BC = 6√2

Jadi, panjang BC adalah 6√2

6. Suatu segitiga dengan panjang sisi berturut-turut adalah 3, 5 dan 7. Jika θ adalah sudut yang berada di depan sisi yang panjangnya 7, tentukan sin θ dan tan θ !

Pembahasan :



Dengan aturan cosinus :
cos θ = 32+52−722.3.5
cos θ = −12

Karena cos θ bernilai negatif, maka θ adalah sudut tumpul (kuadran II)
θ = 180° − 60°
θ = 120°

sin θ = sin 120°
sin θ = sin (180° − 60°)
sin θ = sin 60°  (K.II sinus positif)
sin θ = 12√3

tan θ = tan 120°
tan θ = tan (180° − 60°)

tan θ = −tan 60°  (K.II tangen negatif)

tan θ = −√3

PERSAMAAN TRIGONOMETRI  

1. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x =  ½ …..

A. HP = {30o,120o}

B. HP = {30o,390o}

C. HP = {30o,480o}

D. HP = {120o,480o}

E. HP = {390o,480o}

Jawaban : A

Pembahasan : 

soal persamaan trigonometri dan jawaban no 1

2. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x =  ½ ….

A. HP = {60o,420o}

B. HP = {60o,300o}

C. HP = {30o,360o}

D. HP = {30o,120o}

E. HP = {-60o,120o}

Jawaban : B

Pembahasan : 

soal persamaan trigonometri dan jawaban no 2

3. Tentukan penyelesaian persamaan soal pers sin.png dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π

 pembahasan:

jawab pers sin.png

4. Tentukan penyelesaian persamaan soal pers cos.png dalam interval 0º ≤ x ≤ 360º

Pembahasan :

jawab pers cos.png

GRAFIK TRIGONOMETRI 

1. Perhatikan grafik di bawah!

Persamaan fungsi trigonometri yang sesuai pada grafik di atas adalah ….

  \[ \textrm{A.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]

  \[ \textrm{B.} \; \; \; y = 2 Sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \]

  \[ \textrm{C.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \]

  \[ \textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]

  \[ \textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \]

Pembahasan:

Grafik fungsi trigonometri merupakan bentuk grafik fungsi sinus. Persamaan umum grafik fungsi trigonometri untuk fungsi sinus adalah:

  \[ y = A \; \textrm{Sin} \; k (x \pm \alpha ) \pm c \]

Menghitung banyaknya gelombang dalam 1 periode (k):

Berdasarkan informasi grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal, diketahui bahwa pada rentang - \frac{pi}{6} sampai dengan \frac{5 \pi }{6} memuat setengah periode.

  \[ \frac{\pi}{k} = \left( \frac{5 \pi}{6} - \left( - \frac{\pi}{6} \right) \right) \]

  \[ \frac{ \pi }{k} = \frac{5 \pi}{6} + \frac{\pi}{6} \]

  \[ \frac{ \pi }{k} = \frac{6 \pi}{6} \]

  \[ k = \frac{6 \pi}{6 \pi} = 1 \]

Jadi banyaknya gelombang dalam satu periode adalah 1 (k = 1).

Mencari nilai Amplitudo (A): nilai tertinggi yang dapat dicapai grafik fungsi trigonometri adalah 2 atau – 2 , sehingga nilai amplitudonya sama dengan 2 (A = 2).




Grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal bergeser sejauh \frac{\pi}{6} ke arah kiri, sehingga persamaan akan mendapat tambahan + {\pi}{6}.

Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan soal adalah:

  \[ y = 2 \cdot Sin \; 1 \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]

  \[ y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]

Jawaban: A

2. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi trigonometri di bawah in!


a. f(x) = 2 sin 2x + 5

b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8
Pembahasan :

a. f(x) = 2 sin 2x + 5 → a = 2 , c = 5

Nilai maksimum = |a| + c = |2| + 5 = 7
Nilai minimum = -|a| + c = -|2| + 5 = 3
b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8 → a = -3 , c = -8
Nilai maksimum = |a| + c = |-3| + |-8| = 11



Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

-
Gambar
Pengertian Turunan Turunan fungsi   ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan . Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh  Sir Isaac Newton   ( 1642 – 1727 ), ahli  matematika   dan  fisika   bangsa  Inggris  dan  Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa  Jerman . Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam  Geometri  dan Mekanika. Konsep turunan fungsi secara universal banyak sekali digunakan dalam bidang ekonomi untuk menghitung biaya   marjinal, biaya total atau total penerimaan, dalam bidang biologi  untuk menghitung laju pertumbuhan organisme, dalam bidang fisika untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang kimia untuk menghitung laju pemisahan, dalam...
Baca selengkapnya

METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA

-
Gambar
METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA KELAS 11 Anindyanari NP XI IPS 3 Pembuktian langsung, kontraposisi, kontradiksi, dan induksi akan dijelaskan dalam artikel ini dengan cara yang mudah melalui contoh di kehidupan sehari-hari dan lingkungan sekitar.     ----- Pembuktian Matematika ----- Albert Einstein, fisikawan terkemuka, pernah  lho  mempertanyakan kenapa ya teori matematika, yang padahal hanya berasal dari pikiran manusia semata, bukan dari pengalaman, bisa sangat sesuai dan berlaku untuk benda-benda di dunia nyata? Kalau kita ambil contoh misalnya fisika, fisika bisa diterima semua orang karena bisa disaksikan lewat eksperimen. Kalau matematika?  Nah , teori matematika selalu bisa dibuktikan dan sesuai dengan logika, Squad. Logika dalam matematika? Pembuktian? Gimana  tuh  maksudnya? Logika dalam matematika bisa diingat kembali materinya di  logika matematika: ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi . Kalau pembuktian, ada beberap...
Baca selengkapnya