SOAL DAN PEMBAHASAN LATIHAN PAS

Nama: Anindyanari Nilopadmandhita

Kelas: XI IPS 3

Absen: 6

No 1. Diketahui premis-premis berikut Premis1 Jika masyarakat mencampakkan sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih. Premis 2: Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman. Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah...

JAWABAN: Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.

NO 2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa P 1 + 3 + 5 ++ (2n-1) = n bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.

JAWABAN: Untuk pembuktian suatu rumus tersebut benar (berlaku), bisa kita gunakan induksi matematika, yang terdiri dari dua langkay yaitu:

Buktikan untuk n = 1 benar

Misal untuk n = k benar, akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar

Pembahasan

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n²

Langkah pertama

Akan dibuktikan untuk n = 1 Benar

(2n – 1) = n²

2(1) – 1 = 1²

2 – 1 = 1

1 = 1 (benar)

Langkah kedua

Misal untuk n = k benar

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k – 1) = k²

Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar

1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

|__________________|

k² + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

k² + 2k + 2 – 1 = (k + 1)²

k² + 2k + 1 = (k + 1)²

(k + 1)² = (k + 1)²

(Benar)

Jadi TERBUKTI bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n² berlaku untuk setiap n bilangan asli.

NO 3.

NO 4. Membuktikan dengan induksi matematis .

buktikan bahwa pernyataan berikut bernilai benar.

a) 1per 1.2 + 1per 2.3 + 1 per 3.4 +.... + 1 per n ( n+1 ) = n per n+ 1 untuk setiap bilangan asli

JAWABAN:

NO 5. buktikan dengan induksi matematika bahwa a^2n-1+b^2n-1 habis dibagi oleh a+b untuk semua bilangan asli n

JAWABAN:

No 6. Buktikan dengan induksi matematika bahwa : 5^2n + 3n - 1 habis dibagi 9

1) buktikan kebenaran untuk $n=1$

$5^{2} + 3 - 1 = 27$

(Benar)

2) asumsikan benar untuk $n=k$

$5^{2k} + 3k - 1 = 9m$ , $m \in \mathbb{N}$

( $9m$ menunjukkan bahwa $5^{2k} + 3n - 1$ merupakan kelipatan 9)

3) cek kebenaran untuk $n=k+1$

$5^{2(k+1)} + 3(k+1) - 1\\= 5^{2k}5^2 + 3k + 3 - 1\\= 25\cdot5^{2k} + 3k - 1 + 3\\= 24\cdot5^{2k} + 5^{2k}+ 3k - 1 + 3\\= 5^{2k}+ 3k - 1 + 3 + 24\cdot5^{2k}\\= 9m + 3 + 24\cdot 5^{2k}$

akan terbukti benar jika $3 + 24\cdot 5^{2k}$ habis dibagi 9

bisa buktikan itu dengan induksi lagi

buktikan bahwa $3 + 24\cdot 5^{2n}$ habis dibagi 9

1) cek kebenaran untuk $n = 1$

$3 + 24\cdot 5^{2} = 603$

(benar)

2) asumsikan benar untuk $n=k$

$3 + 24\cdot 5^{2k} = 9m$

3) cek kebenaran untuk $n=k+1$

$3 + 24\cdot 5^{2(k+1)} \\= 3 + 24\cdot25\cdot5^{2k}\\= 3 + 24\cdot5^2k + 24\cdot24\cdot 5^{2k}\\= 9m + 3\cdot8\cdot3\cdot8\cdot 5^{2k}\\= 9m + 9\cdot64\cdot5^{2k}\\= 9( m + 64\cdot5^{2k})$

terbukti bahwa $3 + 24\cdot 5^{2n}$ habis dibagi 9 benar

maka pernyataan awal tadi juga benar

NO. 7 Buktikan untuk masing masing bilangan asli n _> 5 akan berlaku 2n-3<2n-2

JAWABAN: n_>5={1,2,3,4,5}

2n-3<2n-2

=2(1)-3<2(1)-2

=(-1)<0(benar)

2(2) -3<2(2) -2

=1<2 (benar)

2(3) -3<2(3) -2

=3<4(benar)

2(4) -3<2(4) -2

=5<6( benar)

2(5) -3<2(5) -2

=7<8( benar)

NO 8. penyelesaian dari sistem persamaan 2x-3y=-13 dan x+2y=4 adalah?

JAWABAN:

NO 9. Harga 5 kg gula dan 30 kg beras adalah Rp410.000,00, sedangkan harga 2 kg gula dan 60 kg beras adalah Rp740.000,00. Harga 2 kg gula dan 5 kg beras adalah ....

JAWABAN: gula = x

beras = y

5x + 30y = 410.000 |*2

2x + 60y = 740.000 |*1

10x + 60y = 820.000

2x + 60y = 740.000

_________________-

8x = 80.000

x = 10.000

subtitusikan x nya ke persamaan

2x + 60y = 740.000

2(10.000) + 60y = 740.000

20.000 + 60y = 740.000

60y = 720.000

y = 12.000

jadi, harga 1kg gula = Rp 10.000 dan 1kg beras = Rp 12.000

maka 2kg gula dan 5kg beras

= 2(10.000) + 5(12.000)

= 20.000 + 60.000

= Rp 80.000

NO 10. Tentukan daerah bersih dari pertidaksamaan linear berikut 5x+3y <15

JAWABAN:

Untuk x = 0

5x + 3y = 15

5 (0) + 3y = 15

3y = 15

y =

y = 5 titik (0, 5)

Untuk y = 0

5x + 3y = 15

5x + 3 (0) = 15

5x = 15

x =

x = 3 titik (3, 0)

Jadi garis 5x + 3y = 15 melalui titik (0, 5) dan (3, 0)

NO 11. tentukan daerah kotor dari pertidaksamaan linear berikut 2x - 5y > 20

JAWABAN: penjelasan dengan langkah langkah

2x-5y>20

titik potong di y

x=0

2(0)-5y>20

-5y>20

y<20/-5

y<-4

Hp { 0,-4}

titik potong di x

y=0

2x-5(0)>20

2x>20

x>20/2

x>10

Hp {10,0}

Hp{ 10,0 ; 0.-4}

NO 12. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 5x + 6y ≥ 30; -2x + y ≤ 0 ; y ≥ 2 ditunjukan oleh daerah...

JAWABAN:

N0 13. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan…

JAWABAN:

NO 14. Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi x + y ≤ 5 , x ≥ 0 , y ≥ 0, dan x , y ∈ R.

JAWABAN:

Jadi, nilai maksimum dicapai pada titik (5,0) yaitu: 3 . 5 + 2 . 0 = 15.

QUESTION 3

NO 15. Luas sebuah tempat parkir adalah 420 m2. Tempat parkir yang diperlukan oleh sebuah sedan adalah 5 m2 dan luas rata-rata sebuah truk 15 m2. Tempat parkir tersebut dapat meminta tidak lebih dari 60 kendaraan. Biaya parkir untuk sedan Rp3.000.00 dan untuk sebuah truk Rp5.000,00. Jika banyak sedan yang diparkir x buah dan banyak truk y buah, model matematika dari masalah tersebut adalah

JAWABAN: sedan: x

truk: y

5x+ 15y ≤420

x+ 3y ≤84

x+y ≤60

x≥0, y≥0

maka Model:

x+ 3y ≤84 ;x+y ≤60 ; x≥0 ;y≥0

NO 16. seorang penjahit memiliki persediaan 20 m kain polos dan 20 m kain bergaris untuk membuat 2 jenis pakaian. pakaian model I memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris.pakaian model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris.pakaian model I dijual dengan harga Rp150.000,00 per potong,dan pakaian model II dijual dengan harga Rp100.000,00 per potong.penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah ....

JAWABAN:

NO 17. Diketahui matriks A = ( 2 3 -1 4 ) dan matriks B = ( 1 4 -2 5 ). Jika matriks C = 2A^t - B maka determinan dari matriks C adalah....

JAWABAN:

NO 18. Matriks At adalah transpose matriks A. Jika matriks C = (4/7 -1/7 -1/7 2/7) B = (4 2 2 8) dan A = C-1 maka determinan dari matriks At.B adalah...

JAWABAN:

NO 19. Jika matriks a 2x+1 3 6x-1 5 tidak mempunyai invers.maka nilai x adalah

JAWABAN:

NO 20. diketahui matriks a= ( 3, y, 5,-1) , b= ( x,5,-3,6), dan c = ( -3,-1, y, 9) . jika a+ b - c = ( 8, 5x, -x , -4) nilai x + 2xy + y adalah..

JAWABAN:

NO 21.

NO 22. Suatu perusahaan pakaian, JCloth, memiliki dua pabrik yang terletak di Surabaya dan Malang. Di dua pabrik tersebut, JCloth memproduksi dua jenis pakaian, yaitu kaos dan jaket. Perusahaan tersebut memproduksi pakaian yang kualitasnya dapat dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu standard, deluxe, dan premium. Tahun kemarin, pabrik di Surabaya dapat memproduksi kaos sebanyak 3.820 kualitas standard, 2.460 kualitas deluxe, dan 1.540 kualitas premium, serta jaket sebanyak 1.960 kualitas standard, 1.240 kualitas deluxe, dan 920 kualitas premium. Sedangkan pabrik yang terletak di Malang dapat memproduksi kaos sebanyak 4.220 kualitas standard, 2.960 kualitas deluxe, dan 1.640 kualitas premium, serta jaket sebanyak 2.960 kualitas standard, 3.240 kualitas deluxe, dan 820 kualitas premium dalam periode yang sama.

JCloth

1. Tulislah “matriks produksi” dengan ordo 3 × 2 untuk masing-masing pabrik (S untuk Surabaya dan M untuk Malang), dengan kolom kaos, kolom jaket, dan tiga baris yang menunjukkan banyaknya jenis-jenis pakaian yang diproduksi.

2. Gunakan matriks dari poin 1 untuk menentukan banyaknya pakaian yang telah diproduksi oleh pabrik di Surabaya dan Malang.

3. Gunakan perkalian skalar untuk menentukan berapa banyak pakaian dari masing-masing jenis yang akan diproduksi di Surabaya dan Malang, jika perkiraan peningkatan produksinya adalah 4%.

4. Berapa total banyak pakaian yang diproduksi oleh JCloth (di kedua pabrik) pada tahun depan, untuk setiap jenis pakaian?

JAWABAN:

NO 23. Arman membeli 5 pensil dan 3 penghapus, sedangkan susi membelu 4 pensil dan 2 penghapus di toko yang sama. Di kasir, arman membayar Rp. 11.500 sedangkan susi membayar RP. 9.000. Jika doni membeli 6 dan 5 penghapus, berapa ia harus membayar

JAWABAN: x = pensil

y = penghapus

5x + 3 y = 11.500 (x2)

4x + 2 y = 9.000 (x3)

_______________

10x + 6 y = 23.000

12x + 6y = 27.000

_______________ (-)

-2x = -4.000

x = 2.000

4x + 2y = 9.000

4*2000 + 2y = 9000

2y = 1000

y = 500

jadi harga pensil = 2000 dan penghapus = 500

sehingga doni harus membayar 6*2000 + 5*500 = 12.000+2.500 = 14.500

NO 24. Bu Ani seorang pengusaha makanan kecil yang menyetorkan dagangannya ke tiga kantin sekolah. Tabel banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya sebagai berikut. Kacang Keripik Permen Kantin A | 10 | 10 | 5 | Kantin B | 20 | 15 | 8 | Kantin C | 15 | 20 | 10 | (Dalam satuan bungkus) Harga sebungkus kacang, sebungkus keripik, dan sebungkus permen berturut-turut adalah Rp 2.000,00; Rp 3.000,00; dan Rp 1.000,00. Pertanyaan: a. Nyatakan banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya dengan matriks b. Nyatakan harga makanan dalam bentuk matriks c. Hitung pemasukan Bu Ani dari setiap kantin dengan cara perkalian matriks d. Carilah determinan matriks dari banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya

JAWABAN:

NO 25. Lisa dan muri bekerja pada pabrik tas. Lisa dapar menyelesaikan 3 buah setiap jam dan muri dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam jumlah jam kerja lisa dan muri adalah 16 jam sehari dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas. Jika jam kerja keduanya berbeda, lisa bekerja selama x jam dan muri bekerja selama y jam, maka model matematika penyrlrsaian masalah tersebut menggunakan matriks adalah

No 26. Bayangan titik A(4, 6) karena refleksi terhadap garis y = 2, yang kemidian di lanjutkan dengan refleksi terhadap garis x = -1

Penyelesaian Soal

Bayangan titik A (-1, 4) oleh refleksi terhadap garis y= -x

Pencerminan terhadap garis y = -x

A(a, b) → gr y = -x → A'(-b, -a)

A(-1, 4) → gr y = -x → A'(-4, -(-1)) = (-4, 1)

no 27. (x, y) dicerminkan thp sumbu x : (x, -y) kemudian

(x, -y) dicerminkan thp sumbu y : (-x, -y)

Jadi

-x = x' => x = -x'
-y = y' => y = -y'

Bayangan dari : y = 3x² + 2x - 1 adalah
(-y') = 3(-x')² + 2(-x') - 1
-y' = 3x'² - 2x' - 1
y = -3x² + 2x + 1

no 28. Matriks refleksi y = x adalah:

Matriks rotasi 90° berlawanan jarum jam di pusat (0,0) adalah:

Menghasilkan komposisi transformasi:

Memberikan:

Yang mana:
x = -x'
y = y'

Substitusi ke persamaan yang akan menghasilkan:

no 29. Kita siapkan variabel-variabel x dan y sebagai variabel awal, x' dan y' sebagai variabel bayangan setelah pencerminan garis, dan x" serta y" sebagai variabel bayangan setelah translasi.

Step-1 pencerminan garis x = k

Untuk x = 2

(x' , y') = (2(2) - x, y)

(x' , y') = (4 - x, y) akan disubtitusi ke Step-2

Step-2 translasi (- 3, 4)

Translasi (a, b) dengan a = -3 dan b = 4.

(x", y") = (x' + (- 3), y' + 4)

(x", y") = (4 - x + (- 3), y + 4)

(x", y") = (1 - x, y + 4)

Sehingga, x" = 1 - x dan y" = y + 4

Setelah diatur dengan pindah ruas menjadi

Substitusikan ke bentuk awal x²+ y² = 4

⇔ (1 - x")² + (y" - 4)² = 4

Selanjutnya tanda aksen dapat dihilangkan

⇔ (1 - x)² + (y - 4)² = 4

⇔ x² - 2x + 1 + y² - 8y + 16 = 4

⇔ x² + y² - 2x - 8y + 1 + 16 - 4 = 0

Kesimpulan

Dari langkah-langkah pengerjaan di atas, diperoleh persamaan bayangan lingkaran

no 30. A(3,-2)

dipetakan oleh T(1 -2)

x' = x + 1 = 3 + 1 = 4
y' = y + (-2) = -2 + (-2) = -4

Bayangan A = A' = (4,-4)

lanjut rotasi [O , 90°]

x" = -y' = -(-4) = 4
y" = x' = 4

Bayangan akhir = A" = (4,4)

no 31

no 32. refleksi thd sb x

x' = x

y' = -y

Bayangan

y = x² + 3x + 3

-y' = x'² + 3x' + 3

y = -x² - 3x - 3

• lanjut dilatasi [O, 4]

x' = 4x → x = 1/4 x'

y' = 4y → y = 1/4 y'

Bayangan akhir

y = -x² - 3x - 3

1/4 y' = -(1/4 x')² - 3(1/4 x') - 3

1/4 y = -1/16 x² - 3/4 x - 3

Kedua ruas kalikan 4

y = -1/4 x² - 3x - 12 ✔

no 33

no 34

no 35

no 36

maka

U1,U2,U3,...
50.000, 55.000, 60.000,....
maka
a=50.000
b=5.000(beda per bulan)
yg ditanyakan=jumlah tabungan dlm 2 tahun, maka jumlah tabungan dalam 24 bulan
maka
Sn=n/2(a+Un)
cari Un dulu
Un=a+(n-1)b
U24 =50.000+(24-1)5.000
U24=50.000+23x5.000
U24=50.000 + 115.000
U24=165.000
lalu
Sn=n/2(a+Un)
S24=24/2(50.000+165.000)
S24=12(215.000)
S24=2.580.000

no 37