NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut.

1. Jika f′(x) bertanda positif, atau f′(x)>0, maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik).
2. Jika f′(x) bertanda negatif, atau f′(x)<0, maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun).
3. Jika f′(x) bertanda netral, atau f′(x)=0, maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).

Kondisi suatu fungsi y=f(x) dalam keadaan naik, turun, atau diam
Diberikan fungsi y=f(x) dalam interval I dengan f(x) diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap x di dalam interval I.

1. Jika f′(x)>0, maka kurva f(x) akan selalu naik pada interval I.
2. Jika f′(x)<0, maka kurva f(x) akan selalu turun pada interval I.
3. Jika f′(x)=0, maka kurva f(x) stasioner (tetap/diam) pada interval I.
4. Jika f′(x)≥0, maka kurva f(x) tidak pernah turun pada interval I.
5. Jika f′(x)≤0, maka kurva f(x) tidak pernah naik pada interval I.

Perhatikan bahwa kurva yang ditandai dengan warna merah adalah ketika fungsi itu dikatakan naik, dan biru untuk fungsi turun. Titik $a$ dan $b$ disebut titik stasioner, yaitu titik di mana fungsi itu diam (tidak naik maupun tidak turun). Fungsi $f\left(x\right)$ naik saat $x<a$ atau $x>b$, sedangkan $f\left(x\right)$ turun pada saat $a<x<b$

SOAL 

1. Tentukan interval fungsi naik dan fungsi turun fungsi 

Jawab:

• Fungsi naik jika f’(x) > 0, sehingga intervalnya berada pada x < –2 atau x < 3
• Fungsi turun jika f’(x) < 0, sehingga intervalnya berada pada –2 < x < 3

2. Fungsi  turun pada interval ….

Jawab:

Fungsi turun jika f’(x) < 0

Jadi fungsi turun pada interval 

3.  Fungsi  merupakan fungsi naik pada interval …..

Jawab:

Misalkan

Fungsi naik jika f’(x) > 0

Jadi fungsi naik pda interval 

4. Interval x yang membuat kurva fungsi f(x)=x3−6x2+9x+2 selalu turun adalah ⋯⋅

A. −1<x<3
B. 0<x<3
C. 1<x<3
D. x<1 atau x>3
E. x<0 atau x>3

Diketahui f(x)=x3−6x2+9x+2, sehingga turunan pertamanya adalah f′(x)=3x2−12x+9.
Kurva f(x) selalu turun jika diberi syarat f′(x)<0.
3x2−12x+9<0Kedua ruas dibagi dengan 3x2−4x+3<0(x−3)(x−1)<0∴1<x<3
Jadi, interval x yang membuat kurva fungsi f(x) selalu turun adalah 1<x<3
(Jawaban C)

5. Diberikan fungsi g(x)=2x3−9x2+12x. Interval x yang memenuhi kurva fungsi g(x) selalu naik adalah ⋯⋅

A. x<−2 atau x>−1
B. x<−1 atau x>2
C. x<1 atau x>2
D. 1<x<2
E. −1<x<2

Diketahui g(x)=2x3−9x2+12x, sehingga turunan pertamanya adalah g′(x)=6x2−18x+12.
Kurva g(x) selalu naik jika diberi syarat g′(x)>0.
6x2−18x+12>0Kedua ruas dibagi dengan 6x2−3x+2>0(x−2)(x−1)>0∴x<1 atau x>2
Jadi, interval x yang membuat kurva fungsi g(x) selalu naik adalah x<1 atau x>2
(Jawaban C)

6. Grafik fungsi 

$f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ hanya turun pada interval $-1<x<5$. Nilai $a+b=\cdots \cdot$
A. $-21$                  C. $-9$                   E. $21$
B. $-15$                  D. 9

Diketahui $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ dan $f\left(x\right)$ selalu turun di $-1<x<5$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cccc}(x+1)(x-5)& <0& & \\ x^2-5x+x-5& <0& & \\ x^2-4x-5& <0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $f\left(x\right)$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+2ax+b$.
Grafik fungsi $f\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cccc}3x^2+2ax+b& <0& & \\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3& & \\ x^2+\frac{2}{3}ax+\frac{1}{3}b& <0& & (\cdots 2)\end{array}$
Kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2-4x-5& <0\\ x^2+\frac{2}{3}ax+\frac{1}{3}b& <0\end{array}$
Diperoleh:
$\begin{array}{cc}\bullet \frac{2}{3}a& =-4\Rightarrow a=-6\\ \bullet \frac{1}{3}b& =-5\Rightarrow b=-15\end{array}$
Jadi, nilai $a+b=-6+(-15)=-21$
(Jawaban A)

7. Fungsi 

$f\left(x\right)={\sin }^{2}x$ dengan $0<x<2\pi$ naik pada interval $\cdots \cdot$
A. $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ atau $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$
B. $\frac{2\pi }{3}<x<\pi$
C. $0<x<\frac{\pi }{2}$ atau $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$
D. $0<x<\pi$ atau $\pi <x<2\pi$
E.  $0<x<2$

$\mathrm{\pi Diketahui f(x)=sin2xf(x)=sin2x.Turunan\; pertamanya\; adalah f\prime (x)=2sinxcosx=sin2xf\prime (x)=2sinxcosx=sin2x.\; Grafik\; fungsi ff akan\; naik\; ketika\; diberi\; syarat f\prime (x)>0f\prime (x)>0,\; yaitu sin2x>0sin2x>0.Pembuat\; nol\; adalah \{0,\pi 2,\pi ,3\pi 2,2\pi \}\{0,\pi 2,\pi ,3\pi 2,2\pi \}.Buat\; garis\; bilangan\; dan\; tentukan\; tanda\; kepositivan\; dengan\; uji\; titik.Ini\; berarti, sin2x>0sin2x>0 terpenuhi\; ketika 0<x<\pi 20<x<\pi 2 atau \pi <x<3\pi 2\pi <x<3\pi 2.\; Jadi, f(x)=sin2xf(x)=sin2x akan\; naik\; pada\; interval 0<x<\pi 20<x<\pi 2 atau \pi <x<3\pi 2\pi <x<3\pi 2,\; seperti\; yang\; dipertegas\; pada\; sketsa\; grafik\; berikut.(Jawaban\; C)}$