PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

soal soal penerapan turunan 

Soal Nomor 1
Suatu perusahaan memproduksi $x$ unit barang dengan biaya $(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g\left(x\right)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h\left(x\right)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(4x^2-8x+24)\\ & =4x^3-8x^2+24x\\ g\left(x\right)& =40x\\ h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =40x-(4x^3-8x^2+24x)\\ & =-4x^3+8x^2+16x\end{array}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{\prime }\left(x\right)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =-4x^3+8x^2+16x\\ h^{\prime }\left(x\right)& =-12x^2+16x+16\\ 0& =-12x^2+16x+16\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan -4}\\ 0& =3x^2-4x-4\\ 0& =(3x+2)(x-2)\end{array}$
Diperoleh $x=-\frac{2}{3}$ atau $x=2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h\left(x\right)$. 
$\begin{array}{cc}h\left(2\right)& =-4(2{)}^3+8(2{)}^2+16\left(2\right)\\ & =-4\left(8\right)+8\left(4\right)+32=32\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $(2x-600+\frac{30}{x})$ ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\cdots$ hari. 
A. $80$                      C. $150$                       E. $320$
B. $100$                    D $240$   

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(2x-600+\frac{30}{x})\\ & =2x^2-600x+30\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}4x-600& =0\\ 4x& =600\\ x& =150\end{array}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $150\text{hari}$ agar biaya proyeknya minimum.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $(3x-180+\frac{5.000}{x})$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\cdots$ juta rupiah. 
A. $220$                      C. $230$                  E. $280$   
B. $225$                      D. $260$       

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(3x–180+\frac{5.000}{x})\\ & =3x^2-180x+5.000\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}6x-180& =0\\ 6x& =180\\ x& =30\end{array}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar 
$\begin{array}{cc}f\left(30\right)& =3(30{)}^2-180(30)+5.000\\ & =2.700-5.400+5.000=2.300\end{array}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\text{230 juta rupiah}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Biaya untuk memproduksi $x$ bungkus keripik tempe adalah $(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)$ ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga $(55-\frac{1}{2}x)$ ribu rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\cdots \cdot$
A. Rp225.000,00
B. Rp275.000,00
C. Rp375.000,00
D. Rp400.000,00
E. Rp425.000,00

Pembahasan

Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2+25x+25$, sedangkan fungsi penjualan sebanyak $x$ bungkus keripik tempe adalah $g\left(x\right)=x\cdot (55-\frac{1}{2}x)=55x-\frac{1}{2}{x}^2$. Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntungan$$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =(55x-\frac{1}{2}{x}^2)-(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)\\ & =-\frac{3}{4}{x}^2+30x-25\end{array}$$Nilai fungsi $h$ akan maksimum ketika $h^{\prime }\left(x\right)=0$.
$$\begin{array}{cc}-\frac{3}{4}\left(2\right)x+30& =0\\ -\frac{3}{2}x& =-30\\ x& =30\times \frac{2}{3}\\ x& =20\end{array}$$Substitusi $x=20$ pada $h\left(x\right)$.
$$\begin{array}{cc}h\left(20\right)& =-\frac{3}{4}(20{)}^2+30(20)-25\\ & =-300+600-25=275\end{array}$$Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp275.000,00.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi $h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h\left(t\right)=120t-5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $270$                     C. $670$                  E. $770$
B. $320$                      D. $720$   

Pembahasan

Diketahui: $h\left(t\right)=120t-5t^2$. 
Turunan pertama fungsi $h$ adalah
$h^{\prime }\left(t\right)=120-10t$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$120–10t=0\iff 10t=120\iff t=12$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t=12$, yaitu
$\begin{array}{cc}h\left(12\right)& =120\left(12\right)-5(12{)}^2\\ & =1440-720=720\end{array}$ 
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $720\text{meter}$
(Jawaban D)

fh